ความสัมพันธ์ (Relation)

 ความสัมพันธ์ (Relation) 


ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian product) คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นคู่อันดับ โดยสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับมาจากเซตหน้าเครื่องหมายคูณ และสมาชิกตัวหลังมาจากเซตหลังเครื่องหมายคูณ เช่น

ให้ A	=--	{ 1, 2, 3 } และ B	=---	{ a , b }	-------------------
A × B	=--	{(1, a ), (1, b ), (2, a ), (2 , b ), (3, a ), (3, b )}
เรียก A × B ว่า ผลคูณคาร์ทีเชียนของเซต A และ B
นั่นคือ A × B	=--	{( x , y )  x  A และ y  B}

หรือ B × A = {(y, x)  y  B และ x  A}

ข้อสังเกต ผลคูณคาร์ทีเชียนระหว่าง Ø กับ เซตใดๆ ก็ตาม จะเท่ากับ Ø

	Ø × A = A × Ø = Ø
และ	A × B ≠ B × A	ยกเว้น	1)	A = B
		หรือ	2)	A หรือ B เท่ากับ Ø

ถ้าให้	A	มีจำนวนสมาชิก	=	n(A)	=	a	สมาชิก
	B	มีจำนวนสมาชิก	=	n(B)	=	b	สมาชิก
จะได้	n(A × B)		=	n(A) • n(B)			=	a • b	=	ab
	n(B × A)		=	n(B) • n(A)			=	b • a	=	ba
	n(A × A)		=	n(A) • n(A)			=	a • a	=	a2
	////n(A × B)/////// = n(B × A)////

ให้	A	เป็นเซตใดๆ ซึ่ง		n(A)	=	a
	B	เป็นเซตใดๆ ซึ่ง		n(B)	=	b
จำนวนสับเซตของ			A × B	มีทั้งหมด		=	2ab	สับเซต
จำนวนสับเซตของ			B × A	มีทั้งหมด		=	2ba	สับเซต
จำนวนสับเซตของ			A × A	มีทั้งหมด		=	2a2	สับเซต
จำนวนสับเซตของ			B × B	มีทั้งหมด		=	2b2	สับเซต

สรุป	ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดใดๆ จำนวนสับเซตของ A × B = 2n(A × B) สับเซต

ผลคูณคาร์ทีเชียนของเซต เมื่อ A, B, C เป็นเซตใดๆ

	A × (B ∩ C)	=	(A × B) ∩ (A × C)
	A × (B  C)	=	(A × B)  (A × C)
	A × (B - C)	=	(A × B) - (A × C)
แต่	A ∩ (B × C) ≠ (A ∩ B) × (A ∩ C) A - (B × C) ≠ (A - B) × (A - C)

การหาจำนวนสมาชิกของ A × B

1.	n[(A × A) ∩ (B × B)]	=	[n(A ∩ B)]2
2.	n[(A × A)  (B × B)]	=	n(A × A) + n(B × B) - [n(A ∩ B)]2
3.	n[(A × B) ∩ (B × A)]	=	[n(A ∩ B)]2
4.	n[(A × B)  (B × A)]	=	n(A × B) + n(B × A) - [n(A ∩ B)]2

นิยาม ความสัมพันธ์คือ เซตของคู่อันดับ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ r 

จะได้ว่า	1.	r	เป็นความสัมพันธ์ของ - A - ไป - B - ก็ต่อเมื่อ -- r  A × B
	2.	r	เป็นความสัมพันธ์ใน - A - ก็ต่อเมื่อ - r  A × A
	3.	Ø	เป็นความสัมพันธ์
	4.	ถ้า n (A ) = m และ n (B ) = n แล้ว เราจะได้จำนวนความสัมพันธ์ทั้งหมด จาก A ไป B
		เท่ากับ 2mn ความสัมพันธ์

โดเมนและเรนจ์ 

โดเมน (Domain) หมายถึง เซตของสมาชิกตัวหน้าในคู่อันดับของ r ใช้สัญลักษณ์ D_r

เรนจ์ (Range) หมายถึง เซตของสมาชิกตัวหลังในคู่อันดับของ r ใช้สัญลักษณ์ R_r



เช่น	r	=	{ (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}
	Dr	=	{ 1, 2, 3, 4, 5}
	Rr	=	{ 2, 4, 6, 8, 10}


สามารถเขียนในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกได้ดังนี้


	Dr	=	{x  (x , y )  r}
	Rr	=	{y  (x , y )  r}

วิธีการหาโดเมนและเรนจ์

1. ไม่ว่าเซตแบบแจกแจงหรือแบบบอกเงื่อนไขที่แจกแจงได้ ให้ทำเป็นเซตแบบแจกแจงก่อน เพื่อความง่ายในการพิจารณา
   
   • ค่าของโดเมน ให้ดูที่สมาชิกตัวหน้าของทุกคู่ในในอันดับความสัมพันธ์ r
   
   
   • ค่าของเรนจ์ ให้ดูที่สมาชิกตัวหลังของทุกคู่ในในอันดับความสัมพันธ์ r


2. ถ้าเป็นเซตแบบเงื่อนไข สามารถทำได้อีกวิธีหนึ่ง คือ
   
   • ค่าของโดเมน คือ จัด y ให้อยู่ในรูปของ x แล้วหาค่า x ที่ทำให้ y เป็นจริงตามเงื่อนไข
   
   
   • ค่าของเรนจ์ คือ จัด x ให้อยู่ในรูปของ y แล้วหาค่า y ที่ทำให้ x เป็นจริงตามเงื่อนไข


3. ถ้าเป็นเซตที่อยู่ในเงื่อนไขในรูปกรณฑ์อันดับคู่
   
   เช่น  เมื่อ x เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนคู่บวก
   
   ------------จะหาค่าได้เมื่อ x ≥ 0


4. ถ้าเป็นเซตที่อยู่ในเงื่อนไขในรูปกราฟของความสัมพันธ์
   
   • ค่าของโดเมน คือ ค่า x ทั้งหมดบนแกน x ที่ใช้ในการเขียนกราฟ
   
   
   • ค่าของเรนจ์ คือ ค่า y ทั้งหมดบนแกน y ที่ใช้ในการเขียนกราฟ

อินเวอร์สของความสัมพันธ์

ใช้สัญลักษณ์ r-1
ถ้าให้	r	เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B
จะได้	r-1	เป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A
นั่นคือ	r-1	=	{(y , x )  (x , y )  r}