อัตราส่วนตรีโกณมิติ

แบบทดสอบก่อน – หลัง เรียน วิชาคณิตศาสตร์ เรื่องอัตราส่วนตรีโกณมิติ

โครงการเรียนภาคฤดูร้อน โรงเรียนสาธิตมหาวิทยาลัยมหาสารคาม(ฝ่ายมัธยม)

ปีการศึกษา 2553

คลิก..

ความสัมพันธ์ (Relation)

 ความสัมพันธ์ (Relation) 


ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian product) คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นคู่อันดับ โดยสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับมาจากเซตหน้าเครื่องหมายคูณ และสมาชิกตัวหลังมาจากเซตหลังเครื่องหมายคูณ เช่น

ให้ A	=--	{ 1, 2, 3 } และ B	=---	{ a , b }	-------------------
A × B	=--	{(1, a ), (1, b ), (2, a ), (2 , b ), (3, a ), (3, b )}
เรียก A × B ว่า ผลคูณคาร์ทีเชียนของเซต A และ B
นั่นคือ A × B	=--	{( x , y )  x  A และ y  B}

หรือ B × A = {(y, x)  y  B และ x  A}

ข้อสังเกต ผลคูณคาร์ทีเชียนระหว่าง Ø กับ เซตใดๆ ก็ตาม จะเท่ากับ Ø

	Ø × A = A × Ø = Ø
และ	A × B ≠ B × A	ยกเว้น	1)	A = B
		หรือ	2)	A หรือ B เท่ากับ Ø

ถ้าให้	A	มีจำนวนสมาชิก	=	n(A)	=	a	สมาชิก
	B	มีจำนวนสมาชิก	=	n(B)	=	b	สมาชิก
จะได้	n(A × B)		=	n(A) • n(B)			=	a • b	=	ab
	n(B × A)		=	n(B) • n(A)			=	b • a	=	ba
	n(A × A)		=	n(A) • n(A)			=	a • a	=	a2
	////n(A × B)/////// = n(B × A)////

ให้	A	เป็นเซตใดๆ ซึ่ง		n(A)	=	a
	B	เป็นเซตใดๆ ซึ่ง		n(B)	=	b
จำนวนสับเซตของ			A × B	มีทั้งหมด		=	2ab	สับเซต
จำนวนสับเซตของ			B × A	มีทั้งหมด		=	2ba	สับเซต
จำนวนสับเซตของ			A × A	มีทั้งหมด		=	2a2	สับเซต
จำนวนสับเซตของ			B × B	มีทั้งหมด		=	2b2	สับเซต

สรุป	ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัดใดๆ จำนวนสับเซตของ A × B = 2n(A × B) สับเซต

ผลคูณคาร์ทีเชียนของเซต เมื่อ A, B, C เป็นเซตใดๆ

	A × (B ∩ C)	=	(A × B) ∩ (A × C)
	A × (B  C)	=	(A × B)  (A × C)
	A × (B - C)	=	(A × B) - (A × C)
แต่	A ∩ (B × C) ≠ (A ∩ B) × (A ∩ C) A - (B × C) ≠ (A - B) × (A - C)

การหาจำนวนสมาชิกของ A × B

1.	n[(A × A) ∩ (B × B)]	=	[n(A ∩ B)]2
2.	n[(A × A)  (B × B)]	=	n(A × A) + n(B × B) - [n(A ∩ B)]2
3.	n[(A × B) ∩ (B × A)]	=	[n(A ∩ B)]2
4.	n[(A × B)  (B × A)]	=	n(A × B) + n(B × A) - [n(A ∩ B)]2

นิยาม ความสัมพันธ์คือ เซตของคู่อันดับ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ r 

จะได้ว่า	1.	r	เป็นความสัมพันธ์ของ - A - ไป - B - ก็ต่อเมื่อ -- r  A × B
	2.	r	เป็นความสัมพันธ์ใน - A - ก็ต่อเมื่อ - r  A × A
	3.	Ø	เป็นความสัมพันธ์
	4.	ถ้า n (A ) = m และ n (B ) = n แล้ว เราจะได้จำนวนความสัมพันธ์ทั้งหมด จาก A ไป B
		เท่ากับ 2mn ความสัมพันธ์

โดเมนและเรนจ์ 

โดเมน (Domain) หมายถึง เซตของสมาชิกตัวหน้าในคู่อันดับของ r ใช้สัญลักษณ์ D_r

เรนจ์ (Range) หมายถึง เซตของสมาชิกตัวหลังในคู่อันดับของ r ใช้สัญลักษณ์ R_r



เช่น	r	=	{ (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}
	Dr	=	{ 1, 2, 3, 4, 5}
	Rr	=	{ 2, 4, 6, 8, 10}


สามารถเขียนในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิกได้ดังนี้


	Dr	=	{x  (x , y )  r}
	Rr	=	{y  (x , y )  r}

วิธีการหาโดเมนและเรนจ์

1. ไม่ว่าเซตแบบแจกแจงหรือแบบบอกเงื่อนไขที่แจกแจงได้ ให้ทำเป็นเซตแบบแจกแจงก่อน เพื่อความง่ายในการพิจารณา
   
   • ค่าของโดเมน ให้ดูที่สมาชิกตัวหน้าของทุกคู่ในในอันดับความสัมพันธ์ r
   
   
   • ค่าของเรนจ์ ให้ดูที่สมาชิกตัวหลังของทุกคู่ในในอันดับความสัมพันธ์ r


2. ถ้าเป็นเซตแบบเงื่อนไข สามารถทำได้อีกวิธีหนึ่ง คือ
   
   • ค่าของโดเมน คือ จัด y ให้อยู่ในรูปของ x แล้วหาค่า x ที่ทำให้ y เป็นจริงตามเงื่อนไข
   
   
   • ค่าของเรนจ์ คือ จัด x ให้อยู่ในรูปของ y แล้วหาค่า y ที่ทำให้ x เป็นจริงตามเงื่อนไข


3. ถ้าเป็นเซตที่อยู่ในเงื่อนไขในรูปกรณฑ์อันดับคู่
   
   เช่น  เมื่อ x เป็นจำนวนจริง และ n เป็นจำนวนคู่บวก
   
   ------------จะหาค่าได้เมื่อ x ≥ 0


4. ถ้าเป็นเซตที่อยู่ในเงื่อนไขในรูปกราฟของความสัมพันธ์
   
   • ค่าของโดเมน คือ ค่า x ทั้งหมดบนแกน x ที่ใช้ในการเขียนกราฟ
   
   
   • ค่าของเรนจ์ คือ ค่า y ทั้งหมดบนแกน y ที่ใช้ในการเขียนกราฟ

อินเวอร์สของความสัมพันธ์

ใช้สัญลักษณ์ r-1
ถ้าให้	r	เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B
จะได้	r-1	เป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A
นั่นคือ	r-1	=	{(y , x )  (x , y )  r}

ประเภทของฟังก์ชัน (Kind of Function)

ฟังก์ชัน (Function)


ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ที่สมาชิกในโดเมนแต่ละตัวจับคู่กับสมาชิกของเรนจ์ของความสัมพันธ์เพียงตัวเดียวเท่านั้น


 ข้อตกลงเกี่ยวกับสัญลักษณ์ของฟังก์ชัน

• ถ้า f เป็นฟังก์ชัน และ (x, y)  f แล้ว y เป็นค่าของฟังก์ชัน f ที่ x
  
  ---------เขียนแทนด้วย ƒ(x) ดังนั้น จะได้ y = ƒ(x)


• ในกรณีที่ไม่ได้กำหนดโดเมนของฟังก์ชัน ให้ถือว่า โดเมนของฟังก์ชันเป็นเซตของจำนวนจริงหรือสับเซตของจำนวนจริง

 การหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน

เนื่องจากฟังก์ชันเป็นความสัมพันธ์ ในการหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันจึงใช้หลักการเดียวกันกับการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์



ฟังก์ชันเชิงเส้น

ฟังก์ชันเชิงเส้น n ตัวแปร มีรูปทั่วไป คือ y = a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ +… + a_nx_n

หรือฟังก์ชันที่อยู่ในรูป y = ax + b เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริง และ a ≠ 0 มีกราฟเป็นเส้นตรง

 ฟังก์ชันกำลังสอง

ฟังก์ชันกำลังสอง คือ ฟังก์ชันที่อยู่ในรูปของ y = ax² + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ และ a ≠ 0

สัญลักษณ์กราฟของฟังก์ชัน ขึ้นอยู่กับค่าของ a, b และ c ถ้า a > 0 จะได้กราฟหงาย แต่ถ้า a < 0 จะได้กราฟคว่ำ

เราสามารถหาคำตอบของสมการโดยใช้กราฟ นั่นคือ การหาจุดที่กราฟตัดแกน x หรือกราฟที่ทำให้ค่า y = 0

การแก้สมการกำลังสองโดยใช้กราฟ

1. กรณีที่กราฟไม่ตัดแกน x จะไม่มีคำตอบของสมการที่เป็นจำนวนจริง
   

   เช่น	y	=	--ax2 + c	เมื่อ	a > 0	และ	c > 0
   	y	=	--ax2 + c	เมื่อ	a < 0	และ	c < 0
   	y	=	--a (x – h )2 + k	เมื่อ	a > 0	และ	k > 0
   	y	=	--a (x – h )2 + k	เมื่อ	a < 0	และ	k < 0



2. กรณีที่กราฟตัดแกน x เพียงจุดเดียว จะมีคำตอบของสมการที่เป็นจำนวนจริงเพียง 1 จำนวน
   
   ------------นั่นคือ กราฟของสมการ y = a(x - h)²


3. กรณีที่กราฟตัดแกน x สองจุด จะมีคำตอบของสมการที่เป็นจริง 2 จำนวน
   
   ----------นั่นคือ กราฟของสมการ y = a(x - h)² + k เมื่อ a > 0 และ k < 0
   
   --------------------หรือ---------- y = a(x - h)² + k เมื่อ a < 0 และ k > 0

การแก้อสมการกำลังสองโดยใช้กราฟ

อสมการกำลังสองมีด้วยกัน 4 รูป คือ

ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c ≤ 0

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c ≥ 0

วิธีการแก้อสมการเพื่อหาคำตอบนั้นทำได้โดยพิจารณากราฟของ y = ax² + bx + c เมื่อ a ≠ 0 ดังนั้น

1. หาจุดบนกราฟที่ทำให้ y = 0 หรือหาจุดที่กราฟตัดแกน x


2. กรณีที่ ax² + bx + c < 0 ให้หาค่าของ y < 0 (กราฟจะอยู่ใต้แกน x)


3. กรณีที่ ax² + bx + c > 0 ให้หาค่าของ y > 0 (กราฟจะอยู่เหนือแกน x)

 ฟังก์ชันเอกซ์โพแนนเชียล

ในที่นี้จะเป็นฟังก์ชันเอกซ์โพแนนเชียลพื้นฐานเบื้องต้นที่อยู่ในรูปของ y = a^x เมื่อ a > 0 และ a ≠ 1

จากสมการ y = a^x จะได้

1. กราฟของฟังก์ชันจะผ่านจุด (0, 1) เสมอ เพราะ a⁰ = 1


2. ถ้า a > 1 เมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้น y จะมีค่าเพิ่มขึ้น


3. ถ้า 0 < a < 1 เมื่อ x มีค่าเพิ่มขึ้น y จะมีค่าลดลง


4. โดเมนของฟังก์ชัน คือ เซตของจำนวนจริง


5. เรนจ์ของฟังก์ชัน คือ เซตของจำนวนจริงที่มากกว่าศูนย์

ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

ในที่นี้จะหมายถึง ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ที่อยู่ในรูปของ y =  x – a  + c เมื่อ a และ c เป็นจำนวนจริง

การหาโดเมนและเรนจ์จากกราฟของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์

• เมื่อ x = 0 ค่าของ y จะเท่ากับศูนย์



• เมื่อ x > 0 และ x มีค่าเพิ่มขึ้น ค่าของ y จะเพิ่มขึ้นและเป็นจำนวนบวก



• เมื่อ x < 0 และ x มีค่าน้อยลง ค่าของ y จะเพิ่มขึ้นและเป็นจำนวนบวก

ดังนั้น Dƒ = {x  x  R}

-------Rƒ = {y  y R และ y ≥ 0}

 ฟังก์ชันขั้นบันได

ฟังก์ชันขั้นบันได หมายถึงฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นสับเซตของเซตของจำนวนจริง และมีค่าของฟังก์ชันเป็นค่าคงตัวเป็นช่วงๆ มากกว่าสองช่วง กราฟของฟังก์ชันนี้มีลักษณะคล้ายขั้นบันได

ตัวอย่างของฟังก์ชันขั้นบันไดที่พบเห็นในชีวิตประจำวัน ได้แก่ อัตราค่าบริการไปรษณีย์ประเภทต่างๆ เช่น จดหมาย พัสดุไปรษณีย์ เป็นต้น

ฟังก์ชันกำลังสอง

1.3  ฟังก์ชันกำลังสอง

1.3.1  กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง

           ฟังก์ชันกำลังสอง  คือ  ฟังก์ชันที่อยู่ในรูป  เมื่อ  a,b,c  เป็นจำนวนจริงใดๆ  และ ลักษณะของกราฟของฟังก์ชันนี้ขึ้นอยู่กับค่าของ  a , b  และ  c  และเมื่อค่าของ  a  เป็นบวกหรือลบ  จะทำให้ได้กราฟเป็นเส้นโค้งหงายหรือคว่ำ 
ดังรูป
                                
                                             จากรูปจะเห็นว่า  ถ้า  a > 0  กราฟเป็นเส้นโค้งหงายขึ้น

                                                                                   a < 0  กราฟเป็นเส้นโค้งคว่ำลง

                                            กราฟของฟังก์ชันกำลังสองในรูปนี้มีชื่อว่า  พาราโบลา

ตัวอย่าง  1              จงเขียนกราฟของฟังก์ชันกำลังสองต่อไปนี้

วิธีทำ

       1)  2)   

3)    4)     

5)    6)

อ่านเพิ่มเติม...